Programma di Meccanica Analitica e Relativistica
A.A. 2020/21

Meccanica Analitica

• Richiami di meccanica Newtoniana: grandezze dinamiche, equazione di Newton, Lavoro, Energia Cinetica e Potenziale.
• Sistemi vincolati, classificazione dei vincoli.
• Spostamenti possibili e spostamenti virtuali.
• Reazioni vincolari e vincoli perfetti.
• Principio dei Lavori Virtuali e Principio di D'Alembert.
• Vincoli olonomi, coordinate Lagrangiane ed equazione di Lagrange.
• Esempio: Moto in coordinate cilindriche.
• Esempio: Pallina vincolata asta ruotante, equazione modo e reazione vincolare.
• Esempio: Pendolo composto e pendolo doppio.
• Forma generale dell'energia cinetica per un sistema con vincoli olonomi e sue proprietà.
• Forze derivabili da una funzione potenziale indipendente dalle velocità e Lagrangiana.
• Esempio: Pendolo semplice, equazione del moto e reazione vincolare.
• Potenziali generalizzati.
• Unicità della Lagrangiana.
• Coordinate cicliche, conservazione momento coniugato ed integrali primi del moto.
• Esempio: moto di una massa in un potenziale centrale
• Esempio: conservazione quantità di moto del centro di massa.
• Esempio: conservazione momento angolare totale.
• Simmetrie continue e grandezze conservate, Teorema di Noether (enunciato).
• Invarianza per traslazione temporale e conservazione dell'energia generalizzata.
• Posizioni di equilibrio di un sistema e Teorema dei Lavori virtuali.
• Posizioni di equilibrio nei sistemi conservativi, Teorema di Dirchlet.
• Piccole oscillazioni nei sistemi conservativi: frequenze proprie e modi normali.
• Esempio: Posizioni di equilibrio e piccole oscillazioni di due pendoli accoppiati.
• Piccole oscillazioni nei sistemi conservativi: modi normali a frequenza nulla.
• Principio variazionale di Hamilton.
• Simmetrie continue e leggi di conservazione (Teorema di Nöther).
• Trasformata di Legendre.
• Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
• Coordinate cicliche e leggi di conservazione nella formulazione Hamiltoniana.
• Parentesi di Poisson.
• Teorema di Jacobi-Poisson.
• Principio di Hamilton Ampliato.
• Funzione principale di Hamilton ed equazioni di Hamilton-Jacobi.
• Trasformazioni Canoniche. Sistemi Hamiltoniani.
• Caratterizzazione di Lie delle trasformazioni canoniche.
• Funzione generatrice di una trasformazione canonica.
• Esempi di funzioni generatrici di una trasformazione canonica.
• Soluzione dell'oscillatore armonico mediante trasformazione canonica.
• Condizioni dirette di una trasformazione canonica ed invarianza delle parentesi di Poisson.
• Jacobiano di una trasformazione canonica.
• Equazione di Hamilton-Jacobi.
• Evoluzione temporale come trasformazione canonica, Teorema di Liouville.
• Metodo di Hamilton-Jacobi per l'oscillatore armonico.
• Equazione di Hamilton-Jacobi, variabili separabili.
• Metodo di Hamilton-Jacobi per l'oscillatore armonico bidimensiononale.

Relatività Ristretta

• Principio di Relatività di Galileo.
• Equazioni delle onde e Trasformazione di Galileo.
• Etere e velocità assoluta.
• Aberrazione Stellare.
• Esperimento di Michelson-Morley.
• Tempo proprio.
• Principio di Relatività di Einstein e trasformazione di Lorentz.
• Effetto Doppler.
• Contrazione lunghezze, dilatazione dei tempi e tempo proprio.
• Linea di universo e cono di luce.
• Eventi, diagrammi di Minkowski, intervallo tra due eventi.
• Composizione di velocità.
• Trasformazione di Lorentz per velocità con orientamento generico.
• Composizione di trasformazioni, precessione di Thomas.
• Spazio di Minkowski, quadrivettori controvarianti e covarianti.
• Quadrivelocità, quadriaccelerazione, quadrimpulso.
• Quadriforza ed equazione di Minkowski.
• Energia totale, energia cinetica ed energia di massa.
• Legge di Azione e Reazione.
• Urti, sistema di riferimento del laboratorio e del centro di massa.
• Lagrangiana ed Hamiloniana relativistica particella libera ed interazione, formulazione non covariante.
• Moto di una particella in una forza costante.
• Formulazione lagrangiana covariante.

Complementi

• Momento angolare ed energia cinetica di un corpo rigido, tensore d'inerzia.