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Programma di Meccanica Statistica
A.A. 2020/21
Aggiornamento del 10.11.20
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Meccanica Statistica e Termodinamica
- Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica
- Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincaré
e definizione di equilibrio termodinamico.
- Variabili Estensive ed Intensive.
- Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici.
- Equilibrio e Trasformazioni reversibili
- Lavoro, Calore ed Entropia
- Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica
- Ensemble statistici
- Teorema di Liouville
- Ensemble Microcanonico
- Ipotesi Ergodica
- Traiettorie e volume della regione del moto
- Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalità
- Integrazione di picco e Formula di Stirling
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Richiami di Teoria della Probabilità
- Probabilità e statistica
- Definizione generale di probabilità, spazio di probabilità
- Eventi indipendenti
- Probabilità condizionata
- Legge della probabilità completa
- Variabili aleatorie discrete e continue
- Distribuzione di probabilità e densità di probabilità di una o più variabili
- Marginalizzazione, distribuzione di probabilità condizionata, medie
- Trasformazione di variabili aleatorie
- Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare
- Distribuzione di probabilità Binomiale
- Distribuzione di probabilità di Poisson
- Rappresentazione integrale della delta di Dirac
- Densità di probabilità Gaussiana in una e più variabili
- Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilità:
distribuzione Gaussiana e suoi momenti
- Legge dei grandi numeri
- Cumulanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti
- Teorema del limite centrale
- Distribuzione di probabilità log-normale e suoi momenti
- Distribuzione di probabilità della somma di N variabili i.i.d. con distribuzione di
probabilità di Cauchy
- Distribuzione di probabilità della somma e differenza di due variabili i.i.d. con distribuzione di
probabilità Gaussiana
- Distribuzione di probabilità di N variabili i.i.d. con distribuzione di
probabilità di Poisson
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Meccanica Statistica: regole di calcolo
- Valore medio e distribuzione di probabilità delle variabili macroscopiche
- Regola ad energia costante: Ensemble microcanonico
- Sottosistemi e condizioni di equilibrio
- Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
- Teorema di equipartizione e teorema del viriale
- Entropia gas perfetto
- Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode
- Gas perfetto di oscillatori armonici
- Gas perfetto di particelle classiche relativistiche
- Equazione Barometrica gas perfetto
- Richiami sui potenziali termodinamici
- Regola a temperatura costante: Ensemble canonico
- Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble
(T,p)
- Fluttuazioni di energia nel ensemble canonico
- Teorema di equipartizione nel ensemble canonico
- Equazione di Van der Waals nel limite di bassa densità
- Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico
- Fluttuazioni di densità
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Meccanica Statistica Quantistica
- Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica)
- Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica
- Operatore densità
- Ensemble Quantistici
- Vibrazioni in un solido: Modello di Einstein
- Vibrazioni in un solido: Modello di Debye
- Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi
- Gas Ideali quantisitici: funzioni di stato dei gas ideali quantistici
- Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densità ed alta temperatura
- Gas di Fermi: sviluppo di Sommerfeld
- Gas di Fermi: Limite di alta densità e bassa temperatura, energia di Fermi
- Gas di Bose: limite di alta densità e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein.
- Quantizzazione del Campo Elettromagnetico nel vuoto.
- Radiazione di corpo nero.
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Meccanica Statistica: Complementi
- Equivalenza degli esemble microcanonico e canonico:
Modello di Berlin-Kac.
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- Modello di Ising unidimensionale: Soluzione con matrici di trasferimento.
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- Modello di Ising in dimensione infinita (campo medio):
Ensemble canonico e trasformazione di Stratonovich-Hubbard.
- Equivalenza Ensemble Canonico ed Ensemble Gran Canonico, Costruzione di Maxwell.
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Argomenti facoltativi ai fini dell'esame.
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