Programma di Metodi Numerici per la Fisica
A.A. 2011/12

Sviluppi Asintotici

• Simboli di relazione
• Successione asintotiche
• Serie asintotiche
• Proprietà serie asintotiche
• Esempio: Funzione Gamma di Eulero, metodo di Laplace e formula di Stirling

Boundary Layer Theory

• Soluzione interna e soluzione esterna
• Matching e limite intermedio
• Bilanciamento dei termini e dimensione boundary layer
• Termini successivi dello sviluppo
• Boundary Layer non lineari
• Boundary Layer interne
• Boundary Layer doppie

Metodo WKB

• Fenomeni dispersivi e dissipativi
• Espansione WKB
• Eiconale e termine di trasporto
• Condizioni di validità dell'approssimazione WKB: approssimazione di ottica geometrica e di ottica fisica.
• Metodo WKB e Bondary Layer Theory
• Funzioni di Airy per x >> 1
• Funzioni Paraboliche Cilindriche per |x| >> 1
• Approssimazione nel caso di un punto di inversione
• Approssimazione nel caso di due punti inversione
• Quantizzazione semiclassica

Metodo delle scale multiple

• Risonanze e termini secolari
• Equazione di Duffing: analisi con due scale
• Equazione di Duffing: termini successivi e scale multiple
• Oscillatore smorzato non linearmente: analisi con due scale
• Scale multiple e soluzione WKB

Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche

• Espansioni mal definite: ipotesi di rinormalizzazione
• Regolarizzazione, condizione di rinormalizzazione e rinormalizzazione
• Procedura iterativa di rinormalizzazione
• Condizioni di rinormalizzabilità perturbativa di una teoria
• Invarianza per rinormalizzazione dei parametri e proprietà di gruppo
• Proprietà di gruppo e conseguenze sullo sviluppo perturbativo
• Risommazione (parziale) della serie perturbativa mediante RG
• Equazione di Callan-Symanzik
• Equazione di Duffing: soluzione all'ordine ε.
• Oscillatore con frequenza debolmente dipendente dal tempo: soluzione all'ordine ε.
• Boundary layers: soluzione all'ordine ε2 (Esercizio).
• Gruppo di Rinormalizzazione, Boundary Layers e WKB.
• Boundary layer con termine log ε.

Modello di Ising

• Argomento per l'assenza di una trasizione di fase a temperatura finita in dimensione uno.
• Soluzione esatta del modello unidimensionale mediante matrici di trasferimento.
• Argomento per l'esistenza di una transizione di fase a temperatura finita in dimenensione due o superiore.
• Argomento di Pierls per l'esistenza della transizione a temperatura finita nel modello di Ising in due dimensioni.
• Calcolo della funzione di partizione del modello di Ising bidimensionale su un reticolo quadrato in assenza di campo esterno mediante le variabili di Grassmann.
• Temperatura critica del modello di Ising bidimensionale su reticolo quadrato.

Variabili di Grassmann

• Definizione.
• Operatore di derivazione e di integrazione.
• Cambio variabile integrazione.
• Integrali Gaussiani: Pfaffiano e Determinate.

Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica

• Funzione Generatrice dei momenti di una distribuzione di probabilità.
• Funzione Generatrice dei momenti di un distribuzione Gaussiana N-dimensionale.
• Espansione perturbativa della funzione generatrice dei momenti di una distribuzione gaussiana N-dimensionale perturbata.
• Teorema di Wick e teorema di Novikov.
• Espansione perturbativa della funzione a due punti <φ1φ2> e sua rappresentazione diagramatica, caso di una teoria φ4.
• Sviluppo diagrammatico delle funzioni a n-punti.
• Funzione di partizione e diagrammi di fluttuazione del vuoto.
• Cancellazione diagrammi delle fluttuazioni del vuoto.
• Equazione di Dyson-Schwinger.
• Calcolo perturbativo in T dei momenti della doppia buca 1D.
• Funzioni a n-punti connesse.
• Funzione generatrice delle funzioni a n-punti connesse.
• Funzione generatrice delle funzioni a n-punti connesse nel limite di bassa temperatura per la doppia buca 1D.
• Diagrammi 1PR, 1PI e vertici propri a n-punti.
• Self-energia ed equazione di Dyson.
• Funzione generatrice dei vertici propri e trasformata di Legendre.
• Trasformata di Legendre e 1PI.
• Espansione delle funzioni a n-punti connese in termini di vertici propri.
• Γ[φ] e principio variazionale.
• Γ[φ] nel caso dottura spontanea di simmetria.
• Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[φ].
• Calcolo a 2-loop del momento secondo della doppia buca 1D.
• Doppia trasformata di Legendre e diagrammi 2PI (senza dimostrazione).

Processi Stocastici

• Processi di Bernoulli
• Processi di Markov
• Equazione di Chapman-Kolmogorov
• Forma differenziale dell'equazione di Chapman-Kolmogorov equation.
• Master equation, equazione di Fokker-Planck, equazione di Liouville
• Random Walk.
• Processo di Wiener
• Equazione di Langevin
• Equazione di Langevin e processo di Wiener
• Integrazione stocastica
• Integrazione stocastica di Ito e di Stratonovich
• Regola di differenziazione di Ito
• Formula di Ito: equazioni differenziali stocastiche e Fokker-Planck
• Equazioni differenziali stocastiche: connessione Ito e Stratonovich
• Equazioni differenziali stcastiche e Fokker-Planck: Ito e Stratonovich
• Equazioni differenziali stocastiche: esempio di connessione Ito e Stratonovich
• Integrazione numerica equazioni differenziali stocastiche: algoritmo di Runge-Kutta del secondo ordine
• Formalismo di Martin-Siggia-Rose
• Formulazione funzionale: Azione di Graham-Bausch-Janssen-Wegner (GBJW) ed Azione di Martin-Siggia-Rose (MSR)
• Campi di risposta e Terorema di Fluttazione-Dissipazione
• Azione di MSR quadratica: propagatori liberi