Lezioni Metodi Computazionali per la Fisica A.A. 2016/17 Aggiornamento del 26.01.17

Lez. Data Argomento   T 1 04.10.16 Introduzione e struttura del Corso Sviluppi Asintotici Sviluppi regolari e singolari T 2 05.10.16 Sviluppi Asintotici Sviluppo perturbativo nelle variabili Approssimazioni iterative Analisi dimensionale e adimensionalizzazione T 3 11.10.16 Sviluppi Asintotici Oscillatore armonico smorzato nel limite di piccolo smorzamento o piccola massa: problemi secolari e problemi di strato (layer problem). Approssimazione asintotica uniforme. Simboli di relazione: "O", "o" e "∼". Successione asintotiche Sviluppi asintotici generalizzati e serie asintotiche di Poincaré Unicità serie asintotiche e termini subdominanti T 4 12.10.16 Sviluppi Asintotici Sviluppi asintotici uniformi e non uniformi Serie convergenti e serie asintotiche Esempio: Espansione della funzione Erf(x) Serie asintototiche di potenze: Teorema di Taylor e Teorema di Borel Fenomeno di Stokes Proprietà serie asintotiche di Poincaré: uguaglianza, somma e sottrazione, elevazione a potenza, integrazione e differenziazione T 5 18.10.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Serie generalizzate Stieltjeis ed intergrali di Stieltjeis Integrazione per parti Lemma di Watson Risommazione di Borel T 6 19.10.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Sviluppo asintotico della funzione Gamma incompleta Γ(a,x) per x->0+ Sviluppo asintotico delle funzioni paraboliche cilindriche Dν(x) per x->+∞ Integrali di Laplace e metodo di Laplace: termine principale T 7 25.10.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Esempi metodo di Laplace: termine principale Metodo di Laplace: termini successivi T 8 26.10.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Esempi metodo di Laplace: termini successivi Metodo di Laplace: integrali con il massimo mobile Esempio: Espansione asintotica della funzione Γ(n) di Eulero per n >> 1 T 9 01.11.16 Festa T 10 02.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Sviluppo asintotico degli integrali di Fourier mediante integrazione per parti Integrali di Fourier Generalizzati e Lemma di Riemann-Lebesgue Metodo della fase stazionaria: termine principale dello sviluppo asintotico T 11 08.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Metodo della fase stazionaria: termini successivi dello sviluppo asintotico T 12 09.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Metodo della fase costante: Esempi integrazione lungo cammini a fase costante T 13 15.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Metodo della fase stazionaria e Steepest Descent Metodo Steepest Descent: espansione asintotica J0(x) per x->+∞ T 14 16.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Metodo Steepest Descent con estremi di integrazione finiti e punto di sella Metodo Steepest Descent con punto di sella triplo: espansione asintotica Jx(x) per x->+∞ T 15 22.11.16 Espansioni Asintotiche di Integrali: Metodo del punto di sella: espansione asintotica J0(x) per x->+∞ Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Momenti di una distribuzione di probabilità e loro funzione generatrice Z[J]. Funzioni a n-punti <φ1...φn> di un distribuzione Gaussiana N-dimensionale e loro funzione generatrice Z0[J]. Espansione perturbativa della funzione Z[J] intorno alla teoria Gaussiana. Teorema di Wick T 16 23.11.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Teorema di Novikov. Espansione perturbativa della funzione a due punti <φ1φ2> e sua rappresentazione diagramatica per una teoria φ4. Funzione di partizione Z[0] e diagrammi di fluttuazione del vuoto. Sviluppo diagrammatico delle funzioni a n-punti <φ1...φn> e cancellazione dei diagrammi di fluttuazione del vuoto. T 17 29.11.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Calcolo perturbativo dei momenti <φn> della doppia buca 1D per T << 1 . Equazione di Dyson-Schwinger. T 18 30.11.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Equazione di Dyson-Schwinger. Funzioni a n-punti connesse <φ1...φn>c e loro funzione generatrice W[J]. T 19 06.12.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Funzioni a n-punti connesse <φ1...φn>c e loro funzione generatrice W[J]. Diagrammi 1PR, 1PI, Self-energia Σ ed equazione di Dyson. Vertici propri a n-punti Γ(n) e loro funzione generatrice Γ[φ]. T 20 07.12.12 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Funzioni a n-punti connese e vertici propri. Potenziale effettivo. Γ[φ] e rottura spontanea di simmetria. Espansione a 1-loop delle funzioni W[J] e Γ[φ] per la doppia buca 1D e calcolo della correzione in T di <φ2>. T 21 13.12.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[φ]. T 22 14.12.16 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Momento <φ2> doppia buca 1D: calcolo a 2-loop di W[J] e Γ[φ] e confronto con calcolo diagrammatico diretto. Momento <φ2> doppia buca 1D: confronto calcolo a 1 e 2-loop di W[J], 1-loop di Γ[φ] con risultato esatto. T 23 20.12.16 Festa T 24 21.12.16 Festa T 25 10.01.17 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Vertici 2PI, potenziale effettivo Γ[φ,G] e doppia trasformata di Legendre. T 26 11.01.17 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[φ,G]. T 27 12.01.17 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Momento <φ2> doppia buca 1D: confronto varie approssimazioni con risultato esatto. Processi Stocastici Processo di Bernoulli Processo di Markov Equazione di Chapman-Kolmogorov Master equation, equazione di Liouville, equazione di Fokker-Planck T 28 17.01.17 Processi Stocastici Forward Kramers-Moyal expansion. Random Walk. Processo di Wiener Equazione di Langevin e processo di Wiener T 29 18.01.17 Processi Stocastici Integrazione stocastica: Ito e Stratonovich Regola di differenziazione di Ito T 30 19.01.17 Processi Stocastici Formula di Ito Equazioni differenziali stocastiche e Fokker-Planck: Ito e Stratonovich e loro connessione T 31 24.01.17 Processi Stocastici Equazioni differenziali stocastiche con rumore additivo ed integrali sui cammini: Ito e Stratonovich. Azione di Martin-Siggia-Rose / DeDomincis-Janssen: S[x̂,x]. Azione di Graham-Bausch-Janssen-Wegner: S[x]. Campi di risposta. T 32 25.01.17 Processi Stocastici Azione S[x̂,x] quadratica: propagatori liberi; Processo di Ornstein-Uhlenbeck; Teoria perturbativa dinamica; T 33 26.01.17 Processi Stocastici Dinamica di equilibrio, Teorema di Fluttuazione-Dissipazione ed equazione di Dyson; Integrali sui cammini ed equazione di Fokker-Planck;