Computational Methods for Physics 3 A.A. 2021/22 Aggiornamento del 12.01.22

Lez. Data Argomento   T 1 (2h) 22.09.21 Introduzione e struttura del Corso Sviluppi Perturbativi Sviluppo perturbativo nei parametri Sviluppi regolari e singolari Sviluppo perturbativo nelle variabili Esempi: rappresentazioni integrali, serie di Stieltjes T 2 (2h) 23.09.21 Sviluppi Perturbativi Approssimazioni iterative Analisi dimensionale e adimensionalizzazione Oscillatore armonico smorzato nel limite di piccolo smorzamento o piccola massa: problemi secolari e problemi di strato (layer problem). T 3 (1h) 24.09.21 Sviluppi Asintotici Approssimazione asintotica uniforme. Simboli di relazione: "O", "o" e "∼". Successione asintotiche Sviluppi asintotici generalizzati e serie asintotiche di Poincaré Unicità serie asintotiche e termini subdominanti T 4 (2h) 29.09.21 Sviluppi Asintotici Sviluppi asintotici uniformi e non uniformi Serie convergenti e serie asintotiche Esempio: Espansione della funzione Erf(x) Serie asintototiche di potenze: Teorema di Taylor e Teorema di Borel Fenomeno di Stokes Proprietà serie asintotiche di Poincaré: uguaglianza, somma e sottrazione T 5 (2h) 30.09.21 Sviluppi Asintotici Proprietà serie asintotiche di Poincaré: integrazione e differenziazione Esempio: Serie generalizzate Stieltjeis ed intergrali di Stieltjeis Esempio: Espansione asintotica della funzione Γ(ν) di Eulero per ν>> 1 Layer-Type Problems Espansione asintotica interna ed espansione asintotica esterna T 6 (1h) 01.10.21 Layer-Type Problems Matched asymptotic expansions, dominio di validità e limite intermedio Espansione asintotica uniforme Espansione asintotica uniforme O(1) della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria T 7 (2h) 06.10.21 Layer-Type Problems Espansione asintotica uniforme O(1) e O(ε) della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria. Distinguished e undistinguished limits, bilanciamento dei termini e dimensione del layer. T 8 (2h) 07.10.21 Layer-Type Problems Distinguished e undistinguished limits, bilanciamento dei termini e dimensione del layer. T 9 (1h) 08.10.21 Layer-Type Problems Boundary Layer non lineare T 10 (2h) 13.10.21 Layer-Type Problems Boundary Layer ad entrambi gli estremi Boundary Layer doppia T 11 (2h) 14.10.21 Layer-Type Problems Layer interna Metodo WKB Fenomeni dispersivi e dissipativi Espansione WKB Condizioni di validità dell'approssimazione WKB: approssimazione di ottica geometrica e di ottica fisica. T 12 (1h) 15.10.21 Metodo WKB Espansione WKB per l'equazione Schrödinger. T 13 (2h) 20.10.21 Metodo WKB Metodo WKB e Bondary Layer Funzioni di Airy per |x| >> 1 Funzioni Paraboliche Cilindriche per |x| >> 1 T 14 (2h) 21.10.21 Metodo WKB Funzioni Paraboliche Cilindriche per |x| >> 1 Approssimazione WKB nel caso di un punto di inversione T 15 (1h) 22.10.21 Metodo WKB Trasformazione di Liouville-Green e soluzione di Langer T 16 (2h) 27.10.21 Metodo WKB Approssimazione WKB nel caso di due punti di inversione Problema agli autovalori lineare, quantizzazione semiclassica Metodo delle scale multiple Risonanze e termini secolari Strained Coordinates Method: Equazione di Duffing T 17 (2h) 28.10.21 Metodo delle scale multiple Strained Coordinates Method: Equazione di Duffing Strained Coordinates Method: Ampiezza e periodo del ciclo limite dell'oscillatore di Van der Pol Derivative Expansion Method: Equazione di Duffing con due scale di tempo T 18 (1h) 29.10.21 Metodo delle scale multiple Derivative Expansion Method: Equazione di Duffing con tre scale di tempo T 19 (2h) 03.11.21 Metodo delle scale multiple Derivative Expansion Method: Oscillatore armonico smorzato non linearmente con due scale (Esercizio) Derivative Expansion Method vs WKB Method: oscillatore armonico con frequenza lentamente variabile nel tempo Derivative Expansion Method per Boundary Layer Derivative Expansion Method: Equazione di Van der Pol con due scale di tempo T 20 (2h) 04.11.21 Metodo delle scale multiple Cole-Kevorkian Method: Equazione di Duffing ordine ε2 Naive Renormalization Method: Equazione di Duffing ordine ε T 21 (1h) 05.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Espansioni mal definite: ipotesi di rinormalizzazione T 22 (2h) 10.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Espansioni mal definite: ipotesi di rinormalizzazione Regolarizzazione, condizione di rinormalizzazione e rinormalizzazione Rinormalizzazione perturbativa T 23 (2h) 11.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Invarianza sotto rinormalizzazione e proprietà di gruppo Proprietà di gruppo e rinormalizzazione perturbativa Risommazione (parziale) della serie perturbativa mediante RG T 24 (1h) 12.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Equazione di Duffing: soluzione all'ordine ε. T 25 (2h) 17.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Equazione di Callan-Symanzik Sottrazione minimale: soluzione equazione di Duffing ordine ε2. T 26 (2h) 18.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Gruppo di Rinormalizzazione, Boundary Layers e WKB. Oscillatore con frequenza debolmente dipendente dal tempo: soluzione all'ordine ε. T 27 (1h) 19.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Equazione di Schrödinger con un punto di inversione. T 28 (2h) 24.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Equazione di Schrödinger con un punto di inversione. Soluzione oscillatore di Van der Pol ordine ε2: soluzione equazione omogenea arbitraria e sottrazione minimale, esistenza ed ampiezza ciclo limite. T 29 (2h) 25.11.21 Metodo delle scale multiple Stabilità soluzioni equazione di Mathieu: analisi vicino al valore critico a = 1/4 mediante scale multiple. T 30 (1h) 26.11.21 Gruppo di Rinormalizzazione (RG) ed espansioni asintotiche Stabilità soluzioni equazione di Mathieu: analisi vicino al valore critico a = 1/4 mediante RG. T 31 (2h) 01.12.21 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Momenti di una distribuzione di probabilità e loro funzione generatrice Z[J]. Espansione perturbativa della funzione Z[J] intorno alla teoria Gaussiana. Funzioni a n-punti <φ1...φn> di un distribuzione Gaussiana N-dimensionale e loro funzione generatrice Z0[J]. Teorema di Wick e teorema di Novikov. Espansione perturbativa della funzione a due punti <φ1φ2> e sua rappresentazione diagrammatica per una teoria φ4. T 32 (2h) 02.12.21 Sospensione Didattica. T 33 (1h) 03.12.21 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Espansione perturbativa della funzione a due punti <φ1φ2> e sua rappresentazione diagrammatica per una teoria φ4. Funzione di partizione Z[0] e diagrammi di fluttuazione del vuoto. T 34 (2h) 09.12.21 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Sviluppo diagrammatico delle funzioni a n-punti <φ1...φn> e cancellazione dei diagrammi di fluttuazione del vuoto. Equazione di Dyson-Schwinger. Calcolo perturbativo dei momenti <φn> della doppia buca 1D per T << 1. T 35 (1h) 10.12.21 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Funzioni a n-punti connesse <φ1...φn>c e loro funzione generatrice W[J]. T 36 (2h) 15.12.21 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Diagrammi 1PR, 1PI, Self-energia Σ ed equazione di Dyson. Vertici propri a n-punti Γ(n) e loro funzione generatrice Γ[φ]. Funzioni a n-punti connese e vertici propri. Potenziale effettivo. Γ[φ] e rottura spontanea di simmetria. T 37 (2h) 16.12.21 Non fatta T 38 (1h) 17.12.21 Non fatta T 39 (2h) 22.12.21 Non fatta T 40 (2h) 23.12.21 Non fatta T 41 (1h) 07.01.22 Ripasso T 42 (2h) 12.01.22 Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[φ]. T 44 13.01.22 T 45 14.01.22