Computing Methods for Physics 3
A.A. 2022/23

Sviluppi Perturbativi

• Sviluppo perturbativo nei parametri
• Esempi: equazioni algebriche
• Sviluppi regolari e singolari
• Sviluppo perturbativo nelle variabili
• Esempi: rappresentazioni integrali, serie di Stieltjes
• Approssimazioni iterative
• Analisi dimensionale e adimensionalizzazione
• Oscillatore armonico smorzato nel limite di piccolo smorzamento o piccola massa: problemi secolari e problemi di strato (layer problem).

Sviluppi Asintotici

• Approssimazione asintotica uniforme.
• Simboli di relazione: "O", "o" e "∼".
• Successione asintotiche
• Sviluppi asintotici generalizzati e serie asintotiche di Poincaré
• Unicità serie asintotiche e termini subdominanti
• Sviluppi asintotici uniformi e non uniformi
• Serie convergenti e serie asintotiche
• Esempio: Espansione della funzione Erf(x)
• Serie asintototiche di potenze: Teorema di Taylor e Teorema di Borel
• Fenomeno di Stokes
• Proprietà serie asintotiche di Poincaré: uguaglianza, somma e sottrazione, moltiplicazione e divisone, elevazione a potenza, integrazione e differenziazione

Espansioni Asintotiche di Integrali

• Serie generalizzate Stieltjeis ed intergrali di Stieltjeis
• Sviluppo asintotico della funzione Gamma incompleta Γ(a,x) per x->0+
• Integrazione per parti
• Lemma di Watson
• Sviluppo asintotico delle funzioni paraboliche cilindriche Dν(x) per x->+∞
• Risommazione di Borel
• Integrali di Laplace e metodo di Laplace: termine principale sviluppo asintotico
• Metodo di Laplace: termini successivi
• Metodo di Laplace: integrali con il massimo mobile
• Esempio: Espansione asintotica della funzione Γ(n) di Eulero per n >> 1
• Sviluppo asintotico degli integrali di Fourier mediante integrazione per parti
• Integrali di Fourier Generalizzati e Lemma di Riemann-Lebesgue
• Metodo della fase stazionaria: termine principale dello sviluppo asintotico
• Metodo della fase stazionaria: termini successivi dello sviluppo asintotico
• Metodo della fase costante e Steepest Descent
• Metodo Steepest Descent: espansione asintotica Γ(x) per x->+∞
• Metodo Steepest Descent: espansione asintotica J0(x) per x->+∞
• Metodo Steepest Descent con punto di sella triplo: espansione asintotica Jx(x) per x->+∞
• Metodo Steepest Descent con estremi di integrazione finiti e punto di sella
• Metodo Steepest Descent e fenomeno di Stokes
• Metodo Steepest Descent: termini successivi dello sviluppo
• Metodo Steepest Descent e metodo del punto di Sella
• Metodo Punto di Sella: Espansione delle funzioni di Airy Ai(x) e Bi(x) per x->+/-∞
• Spherical Ising Model

Espansioni Perturbative e Teoria Diagrammatica

• Momenti di una distribuzione di probabilità e loro funzione generatrice Z[J].
• Espansione perturbativa della funzione Z[J] intorno alla teoria Gaussiana.
• Funzioni a n-punti <φ₁...φ_n> e loro espansione intorno alla teoria Gaussiana.
• Teorema di Wick e teorema di Novikov.
• Espansione perturbativa della funzione a due punti <φ₁φ₂> e sua rappresentazione diagramatica per una teoria φ⁴.
• Funzione di partizione Z[0] e diagrammi di fluttuazione del vuoto.
• Sviluppo diagrammatico delle funzioni a n-punti <φ₁...φ_n> e cancellazione dei diagrammi di fluttuazione del vuoto.
• Equazione di Dyson-Schwinger.
• Calcolo perturbativo dei momenti <φⁿ> della doppia buca 1D per T << 1.
• Funzioni a n-punti connesse <φ₁...φ_n>_c e loro funzione generatrice W[J].
• Espansione in T della funzione a due punti <φ₁φ₂> e prima correzione in T di <φ²>.
• Diagrammi 1PR, 1PI, Self-energia Σ ed equazione di Dyson.
• Vertici propri a n-punti Γ⁽ⁿ⁾ e loro funzione generatrice Γ[ϕ].
• Trasformata di Legendre e 1PI.
• Funzioni a n-punti connese e vertici propri.
• Potenziale effettivo.
• Γ[ϕ] e rottura spontanea di simmetria.
• Espansione a 1-loop delle funzioni W[J] e Γ[ϕ] per la doppia buca 1D e calcolo della correzione in T di <φ²>.
• Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[ϕ].
• Momento <φ²> doppia buca 1D: calcolo a 2-loop di Γ[ϕ].
• Vertici 2PI, doppia trasformata di Legendre e potenziale effettivo Γ[ϕ,G].
• Espansione in loop dell'azione effettiva Γ[ϕ,G].
• Momento <φ²> doppia buca 1D: confronto risultato esatto con approssimazioni a 1 e 2-loop di W[J], Γ[ϕ] e Γ[ϕ,G].;
• Derivata Funzionale^*

Processi Stocastici^*

• Equazioni differenziali stocastiche (SDE) ed integrali sui cammini: Ito e Stratonovich.
• Azione di Martin-Siggia-Rose / DeDomincis-Janssen: S[x̂,x].
• Azione di Graham-Bausch-Janssen-Wegner: S[x].
• SDE lineare (Processo di Ornstein-Uhlenbeck): soluzione mediante integrali sui cammini.