FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA

L'insieme dei numeri complessi: completezza algebrica ed analitica. Rappresentazione Cartesiana e polare. Polidromia di Argz. Punto all'infinito e compattificazione del piano complesso. Sfera di Riemann. Domini e loro frontiera. Funzioni di variabile complessa e trasformazioni di coordinate del piano. Polinomi e Teorema Fondamentale dell'Algebra. Definizione di analiticita' attraverso la rappresentazione in serie di potenze. Proprieta' della serie di Taylor. Definizione di singolarita'. Prolungamento analitico secondo Wiestrass. Monodromia e polidromia (algebrica e trascendente). Analiticita' ed equazioni differenziali di Cauchy-Riemann. Esistenza della derivata rispetto ad una variabile complessa. Funzioni intere, razionali e meromorfe. Analiticita' e trasformazioni conformi. Integrali curvilinei di forme differenziali complesse e disuguaglianza di Darboux. Forme differenziali esatte. Teorema di Cauchy. Analiticita' e deformazione dei cammini di integrazione. Teorema di Morera (senza dimostrazione). Esistenza ed analiticita' della primitiva di una funzione analitica. Rappresentazione integrale di Cauchy di una funzione analitica e di tutte le sue derivate. Teorema di Liouville, Teorema Fondamentale dell'Algebra e Teorema del Massimo e Minimo Modulo. La rappresentazione in serie di Laurent e sue proprieta'. Singolarita' polari ed essenziali. Analisi nell'intorno del punto all'infinito. Residuo e sua relazione con l'integrale su una curva chiusa. Teorema dei Residui e sua applicazione al calcolo di integrali sulla retta reale. Residuo nel punto all'infinito. Proprieta' dei residui di funzioni razionali. Relazione tra le funzioni reali armoniche nel piano e le funzioni analitiche di variabile complessa. Polinomi armonici. Polidromia della primitiva di una funzione f(z) nell'intorno di un polo di f(z). Punti di diramazione algebrici e trascendenti. Il logaritmo nel piano complesso. Analiticita' della potenza di z con esponente reale. Uso della polidromia e del Teorema dei Residui per il calcolo di integrali sulla retta reale.

SERIE DI FOURIER

Polinomio di z sulla circonferenza e polinomi trigonometrici. Definizione di serie di Fourier. Esempio di serie di Fourier come riduzione della serie di Laurent. Espansione di Fourier in seni e coseni ed in esponenziali. Proprieta' di realta' e di parita' dei coefficienti di Fourier di funzioni reali e pari o dispari. Serie di Fourier di funzioni di modulo quadrato integrabile e disuguaglianza di Bessel. Teorema di Completezza (senza dimostrazione). Convergenza in media della serie di Fourier. Disuguaglianza di Schwartz. Teorema di Parseval. Teorema di Riemann-Lebesgue (senza dimostrazione). Calcolo approssimato di integrali tipo Fourier per grandi valori della variabile duale. Approssimazione uniforme con polinomi trigonometrici. Teorema di Fejer (senza dimostrazione) e convergenza secondo Cesaro.